О системе в азартных играх см. Мартингейл

Мартинга́л в теории случайных процессов — такой случайный процесс, что наилучшим (в смысле среднеквадратичного) предсказанием поведения процесса в будущем является его настоящее состояние.

Мартингалы с дискретным временем

• Последовательность случайных величин называется мартинга́лом с дискре́тным вре́менем, если

1. ;
2. .

• Пусть дана другая последовательность случайных величин . Тогда последовательность случайных величин называется мартингалом относительно или -мартингалом, если

1. ;
2. .

Мартингалы с непрерывным временем

Пусть есть вероятностное пространство с заданной на нём фильтрацией , где . Тогда случайный процесс называется мартингалом относительно , если

1. измерима относительно для любого .
2. .
3. .

Если в качестве взята естественная фильтрация , то называют просто мартингалом.

Суб(супер)мартингалы

• Пусть дана последовательность случайных величин . Тогда последовательность случайных величин называется су́б(су́пер)мартингалом относительно , если

• Случайный процесс называется суб(супер)мартингалом относительно , если

1. измерима относительно для любого .
2. .
3. .

Если в качестве взята естественная фильтрация , то называют просто суб(супер)мартингалом.

Свойства

• Случайный процесс является мартингалом тогда и только тогда, когда он является одновременно субмартингалом и супермартингалом.
• Если  — мартингал, то .
• Если  — субмартингал, то  — супермартингал.
• Если является мартингалом, а  — выпуклая функция, то  — субмартингал. Если  — вогнутая функция, то  — супермартингал.
• Вообще говоря, мартингал не является марковским процессом. Верно и обратное: марковский процесс не обязан быть мартингалом.

Примеры

• Рассмотрим игру, при которой подбрасывается монета, и при выпадении «орла» игрок выигрывает 1 руб., а при выпадении «решки» проигрывает 1 руб. Тогда:
  • если монета уравновешена, то состояние игрока как функция количества игр является мартингалом;
  • если выпадение «орла» более вероятно, то состояние игрока — субмартингал;
  • если выпадение «решки» более вероятно, то состояние игрока — супермартингал.

• Винеровский процесс (это математическая модель броуновского движения) является мартингалом.